Глава V. Метод заготовок


Возможно ли, применяя метод трансляции, построить «первый магический квадрат»?

Отрицательный ответ представляется очевидным: «нет», – потому, что метод трансляции, если «забыть», что он основан на замысловатых операциях с наложением схем, настолько прост, что даже не предполагает никакой зеркальной операции, а только «перенесение», или «переписывание». Но откуда же «переписать первый магический квадрат»?

С другой, неочевидной стороны, метод трансляции, как бы замкнут сам на себя, но в таком удивительном свойстве зс, несомненно, должны быть скрыты куда большие возможности, чем простой обмен числами между их зеркалами (подобно шарику, летающему при игре в пинг-понг, от одной ракетки к другой).
Мы имеем дело с закономерностями зеркальной симметрии, и если вовлечь в область действия зеркальных систем какой-то «числовой полуфабрикат», то не получим ли мы с помощью метода трансляции «готовый продукт на выходе». Таким «полуфабрикатом» может послужить, к примеру, всё тот же натуральный квадрат. Что если попытаться «транслировать» его числа в зеркальные системы. Идея «до боли знакомая»: ведь нам известно как это сделать в случае с изс, мы это уже проделывали; а ведь можно, наверное, использовать и две другие?.. Но каков же он, натуральный квадрат? Хорошо ли мы его знаем? Познакомимся с ним поближе. Вот он:

[1]

 

Во-первых, этот «полуфабрикат» обладает центральной симметрией и, значит, повторим ещё раз, – принадлежит к изс. Во-вторых, вследствие центральной симметрии, числовой состав квадрата можно подразделить множеством способов на группы (половины, четверти), обладающие внутренней (числовой) и внешней («клеточной») симметрией. Следующий рисунок иллюстрирует дюжину таких способов.

[2]

 

Возможность такого подразделения – это показатель внутренней симметрии квадрата (удивительно! квадрат обладает даже одним из свойств совершенного магического квадрата: все его диагонали, в т. ч. и ломаные, составлены числами, сумма которых равна 34).

Вспомним теперь способ построения первого магического квадрата, известный со времён Дюрера: задача решается (в одном только варианте), если [в натуральном квадрате] поменять местами числа четырех пар: 2 и 15, 3 и 14, 5 и 12, 8 и 9... (Е. Я. Гуревич).
«Поменять местами» эти числа означает то же, что обратить на 180° периферийную область зеркальной системы. Операция выполняется в натуральном квадрате, но результат её иллюстрируется другим квадратом, в который числа центральной области натурального квадрата переносятся в неизменном состоянии, то есть методом трансляции!, а периферийные... тоже переносятся, только с одновременным обращением на 180°. Операция трансляции просто дополняется ещё одним действием. «На выходе» – магический квадрат [13/гл.II].

Всё хорошо, но задача решается «в одном только варианте», поскольку периферийная область в зеркальной системе одна. Как, впрочем, и центральная. И натуральный квадрат один...

А что если перемешать его числа, и тем самым, по-другому перераспределить их между периферийной и центральной областями? Конечно, квадрат при этом перестанет быть натуральным, но в том и состоит цель, чтобы получить новое «сырьё», пригодное для преобразования этим, достаточно простым способом, и если опыт окажется успешным, построение магических квадратов сделается подобным изготовлению деталей из заготовок, с использованием шаблона.

Принцип «хорошего перемешивания» чисел известен – это, на первом этапе, подразделение числового состава квадрата на фракции, включающие максимально разнородные элементы внутренней структуры, т. е., полярные секторы всех четырёх малых угловых зеркал системы. В магических квадратах такой приём вполне себя оправдал [12/гл.IV], используем его теперь для подразделения, и последующего взаимного перемещения чисел натурального квадрата.

На рис. [3] в натуральном квадрате [a] выделены два полярных сектора дзс, а в квадрате [e] – взс. В изс, которой соответствует натуральный квадрат, выделенные числа представляют половину элементов её внутренней структуры, что наглядно передают цветовые акценты в квадратах [a] и [e]. Взаимное перемещение чисел этих секторов в обоих случаях будет способом достаточно равномерного перемешивания чисел. В результате получаются квадраты [b] и [f], в которых, что принципиально важно, сохранилась центральная симметрия чисел. Прочие подробности, такие как сумма чисел в строках, столбцах и т. д., отслеживать не станем, положимся на зеркало!

Ещё один из наиболее простых способов аналогичного перемешивания чисел натурального квадрата иллюстрируют примеры [c,d] и [g,h] на рис. [3]. Выделенные числа образуют в квадратах зигзагообразную картинку в разных плоскостях. Поэтому, взаимное перемещение выделенных числовых пар в соседних строках [d] или столбцах [h] можно так и наименовать – «операция зигзаг».

[3]

 

Полученные квадраты [b] и [f] являются боковыми невариантами. Этот эффект от выполнения соответствующих операций в магическом квадрате <1>, нам уже встречался [14-a,b/гл.IV]. Внутренняя структура квадратов [d] и [h], также, позволяет отнести их к вероятным невариантам.*

* Здесь, также, наблюдается один из интересных эффектов – тот, что сопутствует универсальной зеркальной операции в магических квадратах [29,30/гл.IV]. А именно: в однородных секторах дискретной и веерной систем в квадратах [3-d] и [3-h] размещаются одни и те же числа, только ориентированные в разных плоскостях: 1-2 и 3-4,; 1-9 и 5-13, и т. д.; в одном из квадратов они находятся в строках, а в другом в столбцах. Есть основания предполагать, что в результате какой-либо операции, эти квадраты могут претерпеть взаимное превращение, что и позволяет считать их потенциальными (вероятными) боковыми невариантами.

Таким образом, использование в дальнейшей работе всех четырёх полученных квадратов [3-b,f,d,h] нецелесообразно, поскольку неварианты произведут другие неварианты, поэтому, ограничимся двумя – [b] и [d]. Далее, на рис. [4] на полученные «заготовки» [3-b,d] «наложен шаблон» – цветовая, или в оттенках серого, схема подразделения чисел на центральную и периферийную области интегральной зеркальной системы, и периферийная область обращена на 180°.
Возможно, это вызовет удивление, но квадраты [I,II] – магические, симметричные, тип <1>. Старый, «дедовский» способ [13/гл.II] сработал!

[4]

 

Однако, несмотря на положительный результат опыта, придётся внести в него некоторые поправки, поскольку такое использование заготовок нерачительно, шаблон нуждается в замене, а сама операция в детализации.
Хотя в целом, центрально симметричному обращению в этом преобразовании подвергаются числа всей периферийной области, операция обусловлена действием двух малых угловых зеркал системы. Различение в общей операции обособленного участия этих зеркал будет, во-первых, правильным с позиций оценки выполняемых действий; во-вторых, поможет избежать ошибки.
Далее приводятся примеры более рационального использования заготовок для построения магических квадратов. И первый из примеров – с использованием натурального квадрата, так как он, по сути, тоже является заготовкой, причём в этом применении не имеющей никакого преимущества перед другими квадратами-заготовками.
Хотя, в некоторой степени этот именно пример будет повторением пройденного, он необходим для придания стройности тому методу построения магических квадратов, который только начинает формироваться.

Итак, на рис. [5] заготовка №1 – натуральный квадрат и три новых магических разных типов. Вот как они появляются. Числа полярных секторов центральной области исходного квадрата (в клетках красного и жёлтого цвета) в неизменном виде переносятся («транслируются») в соответствующие по статусу секторы новых квадратов (предполагается, что клетки квадратов пусты, но «размечены» цветовыми схемами; конфигурацию зс легко запомнить, цветовые акценты этому способствуют). Числа двух других секторов – периферийной области, также, переносятся в однородные секторы новых квадратов, но с одновременным обращением на 180°. Это всё. Правило известно со времён Дюрера (хотя не использовалось в полной мере), и оно общее для построения данным «методом заготовок» всех заглавных квадратов <1>, <2>, <3>; разумеется, при использовании не одной только этой, но и других заготовок (если же магический квадрат не получается, значит заготовка с браком J).

В примере [5] в квадратах <2> и <3> достаточно наглядна детализация операции: числа периферийной области в них обращены на 180°, но не целиком, а «позеркально» – сами секторы (клетки синего и зелёного цвета) остаются на своих местах. Применительно к квадрату <1> допустимо говорить об обращении на 180° чисел целиком всей периферийной области только потому, что это не приводит к перемещению самих малых угловых зеркал (секторов системы), но только к их обращению – синие клетки, обращаясь на 180° встают на место синих, зелёные на место зелёных. А что получится, если обратить на 180°, как одно целое, периферийную область, скажем, квадрата <2>?

Двунаправленные стрелочки между квадратами означают их «зеркальное родство» – каждый из них может быть образован от другого методом трансляции. Поэтому, заготовку достаточно преобразовать лишь в один из них; два других могут быть просто переписаны с первого; действия в данном случае тождественны.

[5]

 натуральный кв-т <1> <2> <3>
№1   ó ó
 

Следующая, заготовка №2, получена взаимным перемещением двух составных четвертей натурального квадрата – (см. [3-a,b]); здесь это квадрат [6-b], назовём его промежуточным. Цветовая схема зеркальной системы в промежуточном квадрате нарушилась, но получившаяся расцветка клеток достаточно наглядно передаёт сохранившуюся центральную симметрию квадрата.

Внешняя симметрия промежуточного квадрата просто радует глаз. Волшебная картинка! Мы ещё встретимся с ней в одной из следующих глав...

[6]

натуральный кв-т промежуточный
Ú
a b
 

Далее, на рис. [7] первый квадрат ряда – заготовка №2. От промежуточного [6-b] этот квадрат отличает только восстановленная цветовая схема изс (в нашем сравнении на заготовку наложен шаблон).
Надпись (1) сверху квадрата означает, что исходным для его построения послужила «заготовка №1», а пиктограмма из двух чёрных квадратиков обозначает вид операции (перемещение четвертей). «Транслирование» чисел заготовки №2 в пустые клетки новых квадратов, размеченных цветовыми схемами зс, прибавляет к построенным магическим квадратам [5] ещё три.

[7]

 (1) . <1> <2> <3>
№2   ó ó
 

В результате операции «зигзаг», выполненной в натуральном квадрате (см. [3-с,d]), появился промежуточный квадрат, представленный на рисунке ниже [8-b]:

[8]

натуральный кв-т промежуточный
Ú
a b
 

Восстанавливая цветовую схему в промежуточном квадрате [8-b], получаем приготовленную к «обработке» заготовку №3 и новые «изделия» – ещё три магических квадрата <1>, <2>, <3> [9].
Буква Z над квадратом-заготовкой использована в качестве пиктограммы, обозначающей вид операции, выполненной в исходном квадрате («zигzаг»).

Полученные в ходе этих действий [5-9] магические квадраты <1> можно обнаружить в группах [17,18/гл.IV] – по одному в каждой из групп. Это означает, что эти три квадрата <1> [5,7,9] потенциально заключают в себе все 12 заглавных магических квадратов данного типа – достаточно выполнить в каждом из них универсальную зеркальную операцию.

[9]

 (1) Z <1> <2> <3>
№3   ó ó
 

Заготовки закончились L. Поэтому, переходим к нестандартным квадратам.

Получение нестандартных квадратов новым способом – методом заготовок – очень напоминает преобразование, с той же целью, квадратов строгого соответствия пошаговым методом. Далее мы, конечно, рассмотрим новый способ во всех подробностях, но прежде необходимо создать и новые заготовки. Три уже есть [10], и первая из них, это натуральный квадрат, который используется здесь в качестве заготовки №1 наравне с двумя другими. Все три пригодны для построения квадратов строгого соответствия [5-9]; не могут ли они послужить ещё и для изготовления новых заготовок? Рассмотрим их внимательно. Все три симметричны в том смысле, что числа симметричных пар в них расположены в полярных секторах изс, что наглядно передаёт и цветовая схема. И вот, что характерно, хотя как-то сразу в глаза не бросается: эти числа – 1 и 16, 2 и 15.., 8 и 9 размещаются в разных вертикальных половинах квадратов; и одновременно в разных горизонтальных их половинах. Удивительно: сразу два варианта размещения одних и тех же чисел в одном квадрате J!

[10]

натуральный кв-т   (1) .   (1) Z
№1 №2 №3
 

Эта особенность, прежде всего, натурального квадрата, а затем и двух других симметричных заготовок, позволяет найти способ превращения их в новые заготовки, причём по две из каждой исходной, пригодные для построения нестандартных магических квадратов. Всё очень просто: достаточно в первом случае развернуть справа налево две строки исходной заготовки, а во втором перевернуть (отразить) снизу вверх пару столбцов. Лучше, если это будут пары нижних строк и два правых столбца, тогда квадраты-заготовки останутся заглавными. В результате, имеем шесть новых заготовок, в которых числовые пары в первом варианте (№№4,5,6) разместились в строках, а во втором (№№7,8,9) в столбцах [11]:

[11]

(1)H   (2)H   (3)H
№4 №5 №6
(1)J  (2)J  (3)J
№7  №8  №9
 

Номера новых заготовок указаны слева от квадратов; сверху в круглых скобках обозначен номер заготовки, из которой получена данная, а рядом с номером пиктограмма из двух стрелочек, указывающая, как можно догадаться, на вид операции с исходной заготовкой – отражены столбцы или строки.

В начале предыдущей главы несколько слов было сказано о том, чем отличаются нестандартные квадраты от квадратов строгого соответствия. Продолжим теперь эту тему. Отличаются они отклонениями своих внутренних структур от закономерностей зс. Зеркальных систем три. Цветовых схем, также, за небольшим исключением, до сих пор было три...

Для большей наглядности различных действий с числами возможны два варианта их цветового сопровождения. Первый: сохранять первоначальный вид цветовых схем (как, к примеру, в универсальной зеркальной операции [8/гл.IV]) и на их фоне подчёркивать несоответствие внутренних структур нестандартных квадратов зеркальным системам. Второй вариант: изменять схемы, перемещая их цветовые акценты вслед за перемещением чисел. Такой приём был использован при построении нестандартных квадратов пошаговым методом. В примерах [19-27/гл.IV] цветовые схемы наглядно передают порядок перемещения чисел именно благодаря сопровождающим их цветовым акцентам.

Взгляните на рис. [12]: в квадратах строгого соответствия типа <2> центральная область системы обозначена красным и жёлтым цветом полярных секторов. В квадратах <4> полярный сектор жёлтого цвета перемещается, вытесняя со своего места один из смежных, и сам становится смежным с исходным <4.I> – левым (нижним), или правым  <4.II>.

Таким образом, центральная область зеркальной системы в квадратах <4> представлена в одном случае левой (красно-жёлтой) его половиной <4.I>, в другом – верхней <4.II>. В квадратах <5> и <6> «структурно» происходит то же самое, лишь внешне всё выглядит несколько иначе.

Внешнее отличие изменений в цветовой схеме интегральной зеркальной системы состоит в том, что её полярный сектор (центральный квадратик жёлтого цвета) в вадрате <6.I> или <6.II> перемещаясь, «растягивается» в прямоугольник справа налево, или снизу вверх, а его место, «сжимаясь» из прямоугольника в квадратик 2×2, занимает один из смежных секторов, представленный клетками зелёного или синего цвета.

[12]

<1> <2>  <3>
<6.I>  <4.I>  <5.I>
<6.II>  <4.II> <5.II>
 

Так двухвариантность операций при построении нестандартных квадратов пошаговым методом, обуславливает их «парность», или «двойственность», и один из внешних признаков этой «парности» – горизонтальная и вертикальная ориентации в них симметричных пар. Во всех прочих случаях этим их внешним различием можно пренебречь (что традиционно всегда и происходило – ни один составитель магических квадратов никогда не обращал на это внимания), но не сейчас. Именно теперь настал момент такой, когда следует учесть эту их двойственность, подчёркнутую и цветовыми схемами [12] – «момент» построения нестандартных квадратов новым способом, так как это существенно упростит задачу.

Итак, способ получения нестандартных магических квадратов из заготовок, как уже было сказано, очень похож на способ их построения пошаговым методом, путём преобразования магических квадратов строгого соответствия [19-27/гл.IV]. В текущих преобразованиях действия с числами, также, включают две операции, даже больше.., и выполняются, поэтому, в два-три этапа, однако, перейдём к действиям уже практическим.

Ниже на рис. [13] первая иллюстрация построения нестандартного магического квадрата, в данном случае, типа <6>; цветовая схема заготовки и магического квадрата общая – интегральной зеркальной системы. Первое действие: полярный сектор центральной области зс (не включающий единицу, представленный клетками жёлтого цвета) замещает один из смежных – левый (клетки зелёного цвета), иначе говоря, эти секторы, без отражения чисел, меняются местами. Операция выполняется в горизонтальной плоскости – запомнить легко: в этой же плоскости, справа налево переворачивались (отражались) горизонтальные ряды (строки) исходной заготовки для получения новой, №4. Подсказкой служит и пиктограмма заготовки №4 – стрелочки, указывающие направление по горизонтали. Результат операции иллюстрирует квадрат [b]. Далее, под пунктом [с] тот же квадрат, названный промежуточным, с восстановленной цветовой схемой, но не заготовки, а квадрата [b]. Следующая и последняя операция заключается в отражении снизу вверх (в вертикальной плоскости) чисел малых угловых зеркал периферийной области, в промежуточном квадрате [с] это числа в клетках зелёного и синего цветов. Результат операции представлен нестандартным магическим квадратом <6.I>: [d].

[13]

(1)H       промежуточный   <6.I>
№4
ab cd
 

Последняя операция c превращением промежуточного квадрата в магический [с] Ú [d] может восприниматься как отражение снизу вверх центральных столбцов квадрата. На практике это так, но такое восприятие не должно вводить в заблуждение: следует понимать, что фактически операция складывается из автономных, независимых отражений чисел каждого из двух секторов периферийной области.

Следующая заготовка №7 была получена отражением столбцов исходной №1 в вертикальной плоскости – снизу вверх, что обозначено и стрелочками пиктограммы [14]. Используя пиктограмму как подсказку, определяем подлежащие взаимному перемещению числа полярного и одного из смежных секторов (на этот раз правого*зс; в квадрате-заготовке это, соответственно, клетки жёлтого и синего цветов. Результат выполненной операции представлен квадратом [b] и его копией – промежуточным, с восстановленной цветовой схемой [c].

* Способ определения правого или левого смежного сектора в квадрате с изс был указан в комментарии к рис. [7/гл.IV], но напомню ещё раз: надо мысленно повернуть квадрат на плоскости так, чтобы он принял вид ромба с единицей в верхней клетке; при этом справа к ней будет примыкать клетка синего цвета, составляющая с другими, такой же окраски, правый смежный сектор, а слева зелёного цвета, используемого в принятой здесь палитре для обозначения левого сектора зс (любой из трёх).

Вторая операция – отражение чисел малых угловых зеркал периферийной области зс в горизонтальной плоскости, то есть, справа налево; в промежуточном квадрате [c] это клетки, как обычно, зелёного и синего цветов (вторая операция всегда «перпендикулярна» первой, т. к., числа перемещаются в другой плоскости – ещё одна примета для запоминания общего алгоритма преобразования). Таким образом, построен очередной нестандартный магический квадрат – <6.II>: [14-d].

[14]

(1)J       промежуточный   <6.II>
№7
ab cd
 

Заготовки №4 и №7, по сути являются вариантами: обе они получены из одной и той же исходной №1, причём практически, одинаковым способом – переворачиванием одной из половин исходного квадрата (в исходном квадрате и его боковом неварианте это вообще была бы одна и та же половина, например, только правая, или только нижняя). Отсюда двухвариантность преобразования и «парность» полученных магических квадратов, что и обозначено римскими цифрами через точку после основного обозначения типа: <6.I>, <6.II>. В примерах построения нестандартных магических квадратов пошаговым методом [19-27/гл.IV] парные магические квадраты совпали с подтипами в классификации Е. Я. Гуревича, поэтому, и обозначения для них могли быть использованы соответствующие – <6I>, <6II> и т. д. Парные магические квадраты, построенные методом заготовок, в ряде случаев имеют характеристики одного и того же подтипа в классификации Е. Я. Гуревича, поэтому, для них приняты обозначения <6.I>, <6.II>, отображающие только двухвариантность преобразования.

Заготовки «второго поколения» – для нестандартных магических квадратов, или, как я буду их именовать, вторичные – как и симметричные, обладают некоторой универсальностью; так, можно продолжить работу с №4 и №7 и построить из них, также, квадраты типов <4> и <5>. Но для разнообразия используем для этой цели другие, ещё не задействованные.

Построение квадратов <4> и <5> отличается одной особенностью, связанной с тем, что интегральная зеркальная система вторичных заготовок не совпадает с внутренней структурой будущих квадратов. Особенность эта приводит к необходимости дополнительного, вспомогательного действия в преобразованиях. Далее, на рис. [15-а] заготовка №5. Намереваясь построить из неё квадрат <4>, можно существенно упростить задачу, если прежде переписать, или перенести методом трансляции числа заготовки в квадрат, размеченный цветовой схемой дискретной зеркальной системы – так как если бы это был магический квадрат строгого соответствия <2>. На самом деле, получившийся вспомогательный квадрат [b] нужен только для более удобного старта операций. И первая из них – взаимное перемещение в квадрате [b] двух секторов зс: полярного центральной области (клетки жёлтого цвета) и смежного, расположенного... смотрим на пиктограмму заготовки.., расположенного по горизонтали, слева от полярного, то есть, левого смежного сектора дзс (клетки зелёного цвета). Выполнив операцию, получаем квадрат [с], левая половина которого представлена центральной областью дзс, а периферийная оказалась в правой его половине; именно в этой, правой половине квадрата [с], в секторах периферийной области выполняется следующее действие над числами – отражение их снизу вверх каждым из двух малых угловых зеркал зс (клетки зелёного и синего цветов). Магический квадрат <4.I> построен: [15-d].

[15]

(2)H   вспомогательный   периферия справа   <4.I>
№5
ab cd
 

Нет лучшего способа понять и запомнить решение какой-то задачи, чем самому решить подобную, и может быть, не одну. Или хотя бы проанализировать готовые решения. Поэтому, остальные примеры, иллюстрирующие процесс построения магических квадратов [16-18] оставляю читателям для самостоятельного разбора. Они аналогичны предшествующим, с поправками на тип зс и заготовок.

[16]

(2)J   вспомогательный   периферия внизу   <4.II>
№8
ab cd
 

[17]

(3)H   вспомогательный   перифер.-столбцы   <5.I>
№6
ab cd
 

[18]

(3)J   вспомогательный   периферия-строки   <5.II>
№9
ab cd
 

Итак, мы имеем 9 заготовок [10,11], каждая из которых может быть преобразована в три заглавных магических квадрата (разных типов). Итого, 27. Всего же заглавных магических квадратов 108, то есть, в четыре раза больше, чем можно получить из 9 заготовок. В четыре раза больше... Число имеющихся заготовок, следовательно, необходимо увеличить в четыре раза. Умножить их количество.., в четыре раза. Но как это сделать? Читатели, конечно, уже догадались J!
Ну конечно же, у нас есть замечательный «умножитель» магических квадратов – угловое зеркало, и ничто не мешает попытаться использовать его, также, и для умножения заготовок.

Далее, на рис. [19] натуральный квадрат [a] в зоне действия углового зеркала и три его производных универсальной зеркальной операции [b,c,d] – см. пример выполнения операции в магическом квадрате на рис. [7-c/гл.IV]

[19]

№1
 

Поскольку натуральный квадрат в текущих преобразованиях используется как заготовка №1, то теперь всей четвёрке симметричных заготовок [19] присваивается этот номер и индивидуальные обозначения для каждой из них – [a,b,c,d].
Умножению с помощью универсальной зеркальной операции подлежат и две другие симметричные заготовки – №2 и №3. Операция выполняется, как и в примере [19], в изс.

Вторичные заготовки умножению угловым зеркалом не подвергаются; способ их получения остаётся прежним: это отражение столбцов и строк в исходных для них симметричных квадратах-заготовках. Далее, на рис. [20] представлены две группы (две четвёрки) вторичных заготовок №4 и №7, полученных из симметричных №1. Соответствие отдельных исходных и новых заготовок на рис. [19] и [20] подчёркнуто одинаковыми буквенными обозначениями тех и других, а также одинаковым расположением в четвёрочных группах. Пунктирные перекрестия между квадратами на рис. [20] служат лишь разграничителями и к схеме углового зеркала отношения не имеют.

 

[20]

  (1)H (1)J
№4 №7

Итак, на рис. [10,11] приводится набор 9 заготовок, каждая из которых может быть умножена вчетверо: №1, №2 и №3 – путём выполнения в них универсальной зеркальной операции; остальные – за счёт другого расположения пар столбцов и строк заготовок первых трёх номеров. Таким образом, в результате нехитрых манипуляций с числами натурального квадрата, рождаются 36 заготовок которых достаточно для построения 108 заглавных магических квадратов. Отражение четвертей в каждом из этих 108 заглавных квадратов, как это описано в гл. III, позволит получить 324 производных операции (108×3=324); вместе они и составят все 432 «древних талисмана» (108+324=432).

В раздел Приложений включены: страница с изображением 36 заготовок и 7 страниц с иллюстрациями – схемами построения 108 заглавных магических квадратов; на первой из них изображены по три квадрата строгого соответствия, полученные из каждой заготовки. Остальные 6 страниц отданы под схемы построения нестандартных магических квадратов. Комментарии к этим изображениям не требуются, так как в тексте главы подробно описаны отдельные их примеры. Варианты полученных нестандартных магических квадратов в схемах их построения не указаны, так как здесь они разобщены. Но при этом, на каждой странице со схемами преобразования вторичных заготовок итоговые нестандартные магические квадраты являются представителями какого-то одного подтипа по классификации Е. Я. Гуревича, и он, этот подтип указан в «шапке» таких страниц, но конечно, не надстрочным индексом, а обычной римской цифрой.

Кроме этого, в раздел Приложений включены, также, 108 заглавных магических квадратов, построенные методом заготовок. Квадраты представлены группами по четыре, по три группы в ряду. Слева от первой четвёрки квадратов указан номер (№) заготовок, из которых получены квадраты всех трёх групп ряда. Самих заготовок здесь нет, они приводятся на отдельной странице, о которой говорилось выше («36 заготовок»). На указанной странице заготовки, также, сгруппированы в четвёрки – с общим для них номером и индивидуальными буквенными обозначениями (a, b, c, d) каждого квадрата.
Магические квадраты на странице «108 заглавных...» не имеют таких индивидуальных обозначений, но расположены в группах соответственно, так что определить заготовку, из которой получен тот или иной квадрат, не представляет труда.

В следствие подчинения порядка расположения квадратов заготовкам, каждая четвёрка квадратов в ряду на странице «108 заглавных...» представлена разными их типами – строгого соответствия <1>, <2>, <3>, или нестандартными <6>, <4>, <5>, что позволяет проследить возможность взаимного превращения методом трансляции любых трёх квадратов разного типа, построенных из одной заготовки (a, b, c, или d). Цветовые схемы нестандартных квадратов сохранены в том виде, в котором они сопровождали процесс их построения, то есть, изменёнными. Но это не принципиально, метод трансляции в нестандартных магических квадратах с равным успехом делают наглядным и они.
Магические квадраты первых трёх типов в каждой четвёрке соотносятся между собой, как взаимные производные универсальной зеркальной операции. В четвёрках нестандартных квадратов <6>, <4>, <5> пары производных этого преобразования расположены по диагонали.